1.10 Exemple physique: moment magnétique de spin

1.10.1 Effet Zeeman anormal

Quand on plonge un atome dans un champ magnétique, on observe parfois un nombre pair de niveaux d'énergie avec séparation $\sim B_{z}$

$$\rightarrow \textrm{impossible si }l\textrm{ est uniquement entier}$$

On est donc amené aux valeurs demi-entières: on introduit la notion de moment magnétique de spin:

$$\left\{ \begin{array}{l} \vec{\mu }_{S}=-\frac{g_{S}\mu _{B}}{\hbar }\vec{S}\\ H_{SB}=-\vec{\mu }_{S}.\vec{B} \end{array}\right.$$

• Si $\vec{S}$ est un opérateur de spin, $j$ est demi-entier $\rightarrow$nombre pair de niveaux
• $g_{S}\simeq 2,00232$ (mesuré)

En mécanique quantique non-relativiste: $g_{S}$ est un paramètre libre.

Théorie relativiste de Dirac (1929): on peut prédire $\boxed{g_{S}=2}$ avec des quantifications de l'électromagnétisme, on trouve les corrections et on trouve $g_{S}$ avec $6$ chiffres significatifs.

Note   $\frac{\mu _{B}(\textrm{proton})}{\mu _{B}(e^{-})}=\frac{m_{e}}{m_{p}}\simeq \frac{1}{2000}\rightarrow$l'$e^{-}$ domine.

Expérience de Stern-Gerlach (1922)

 

Résultats classique

$F_{i}=-\partial _{i}V=+\partial _{i}(\vec{\mu }_{S}.\vec{B})$

$$\begin{array}{ll} \Rightarrow \boxed{F_{z}\sim \left. \mu _{... ...z}.(\partial _{z}B_{z})}& <0\textrm{ si }m_{l}=+1/2 \end{array}$$

Classiquement, on observe une tâche sur l'écran alors qu'en mécanique quantique il n'y en a pas. La projection sur l'axe ne prend que des valeurs discrètes.

• On observe 2 taches au lieu d'un continuum
• On peut se convaincre que les variables $x$ et $p$ sont classiques : $\Delta p_{x}.\Delta x\gg \hbar$. Donc $\mu _{z}$ (ou $S_{z}$) ne prend que 2 valeurs
• Il y a alors deux états:
  
  $$\begin{array}{ll} \boxed{\left\{ \begin{array}{l} S_{z}\vert... ...ightarrow +1/2\\ S_{z}\rightarrow -1/2 \end{array}\end{array}$$
  avec $\langle +\vert-\rangle =0$ et $\langle +\vert+\rangle =\langle -\vert-\rangle =1$ (états orthonormalisés)
• $S_{z}=$ECOC des états de spin, c'est-à-dire: $\begin{array}{ll} \boxed{\left( \vert+\rangle \lan... ...le -\vert\right) =\mathbb {1}} & \bold {relation\, de\, fermeture} \end{array}$

Conclusion    

$$\textrm{particules}\longrightarrow \b... ...{array}\right. \rightarrow 2\textrm{ }\acute{\textrm{e}}\textrm{tats seulement}$$