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Sous-sections

1.11 Applications des postulats à un système à deux états

1.11.1 Préparation des états (polariseur)

On utilise l'appareil de Stern-Gerlach pour préparer le système dans un état particulier (par exemple $ \vert+\rangle $ c'est-à-dire $ p=1 $).

1.11.2 Mesure dans un état ``polarisé'' ou pur

Après mesure, on obtient: $ S_{z}\vert+\rangle =\frac{\hbar }{2}\vert+\rangle $ $ \frac{\hbar }{2} $ est la valeur mesurée avec $ p=1 $.

1.11.3 Préparation dans un état $ \vert+\rangle _{\vec{u}}\protect $

On privilégie une direction % latex2html id marker 6372
$ \vec{u}=\left( \begin{array}{c}
\sin \theta \\
0\\
\cos \theta
\end{array}\right) $. On fait donc tourner le premier polariseur d'un angle % latex2html id marker 6374
$ \theta $.

% latex2html id marker 6376
$\displaystyle \vert+\rangle _{\vec{u}}=\cos \frac{\theta }{2}\vert+\rangle +\sin \frac{\theta }{2}\vert-\rangle $

$ \vert+\rangle $ et $ \vert-\rangle $ sont les vecteurs propres pour % latex2html id marker 6382
$ \vec{u}=\overrightarrow{\mathbb{1}}_{z} $

1.11.4 Valeurs moyennes

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 6404\begin{array}{ll}
_{u}\langle +...
...a }{2}\right) \\
& =\frac{\hbar }{2}\sin \theta
\end{array}\end{displaymath}

1.11.5 Évolution temporelle du système

$\displaystyle H=-\vec{\mu }_{S}.\vec{B}=\frac{g_{S}\mu _{B}}{\hbar }\vec{S}.\ve...
...in{array}{cc}
B_{z} & B_{x}-iB_{y}\\
B_{x}+iB_{y} & B_{z}
\end{array}\right) $

Remark   Tout hamiltonien $ 2\times 2 $ est de cette forme (à une composante $ \vec{E}_{//} $ près):

$\displaystyle H=\left( \begin{array}{cc}
H_{11} & H_{12}\\
H_{21} & H_{22}
\e...
...}-H_{22}}{2} & H_{12}\\
H_{21} & -\frac{H_{11}-H_{22}}{2}
\end{array}\right) $

$\displaystyle \textrm{par identification }:\textrm{ }\left\{ \begin{array}{l}
B...
...\\
B_{x}=\frac{2}{g_{S}\mu _{B}}\Re \left( H_{12}\right)
\end{array}\right. $

 

Remark   Couplage fictif entre le moment magnétique de spin et le champ magnétique.

Theorem   Tout système à deux états peut se ramener à un spin (fictif) dans un champ magnétique (fictif) une fois soustraite l'énergie moyenne $ \overline{E}=\frac{H_{11}+H_{22}}{2} $

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 6420\begin{array}{ll}
\textrm{Si }\...
... =\vert\vec{B}\vert.\overrightarrow{\mathbb{1}}_{u}
\end{array}\end{displaymath}

Les vecteurs propres sont:

% latex2html id marker 6422
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll}
\vert+\rang...
... \frac{\theta }{2}e^{i\frac{\varphi }{2}}\vert-\rangle _{z}
\end{array}\right. $

Avec $ H\vert\pm \rangle _{u}=\overline{E}\pm \omega _{0}\frac{\hbar }{2} $ et $ \omega _{0}=\frac{g_{S}\mu _{B}}{\hbar }\vert\vec{B}\vert $ qui est la fréquence de précession de Larmor.

L'évolution temporelle du système est simple:

\begin{displaymath}
% latex2html id marker 6428\begin{array}{ll}
\vert\pm \ran...
...pm \rangle _{u}(t=0) & \qquad (\textrm{pure phase})
\end{array}\end{displaymath}

Par combinaison linéaire, on obtient pour un vecteur quelconque normalisé :

% latex2html id marker 6430
$\displaystyle \vert\psi (t=0)\rangle =e^{-i\chi }\l...
... _{u}+\sin \frac{\theta '}{2}e^{i\frac{\varphi '}{2}}\vert-\rangle _{u}\right] $

Remark   Un vecteur général s'écrit $ \vert\psi \rangle =\alpha \vert+\rangle _{u}+\beta \vert-\rangle _{u} $ avec $ \alpha $ et $ \beta $ deux paramètres complexes. Si $ \langle \psi \vert\psi \rangle =1=\vert\alpha \vert^{2}+\vert\beta \vert^{2} $, il reste 3 paramètres réels que l'on peut choisir comme % latex2html id marker 6440
$ \theta ',\varphi ' $ et $ \chi $.

À un instant $ t $ quelconque, on a:

% latex2html id marker 6446
$\displaystyle \vert\psi (t)\rangle =e^{-i\chi (t)}\...
...u}+\sin \frac{\theta '}{2}e^{i\frac{\varphi '(t)}{2}}\vert-\rangle _{u}\right] $

$\displaystyle \textrm{avec }\left\{ \begin{array}{ll}
\varphi '(t) & =\varphi '...
...ga _{0}t\\
\chi (t) & =\chi +\frac{\overline{E}t}{\hbar }
\end{array}\right. $

Image géométrique
 


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2000-10-19