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Sous-sections

1.11 Applications des postulats à un système à deux états

1.11.1 Préparation des états (polariseur)

On utilise l'appareil de Stern-Gerlach pour préparer le système dans un état particulier (par exemple $\vert+\rangle$ c'est-à-dire ).

1.11.2 Mesure dans un état ``polarisé'' ou pur

Après mesure, on obtient: $S_{z}\vert+\rangle =\frac{\hbar }{2}\vert+\rangle$ où $\frac{\hbar }{2}$ est la valeur mesurée avec .

1.11.3 Préparation dans un état $\vert+\rangle _{\vec{u}}\protect$

On privilégie une direction $% latex2html id marker 6372 $ \vec{u}=\left( \begin{array}{c} \sin \theta \\ 0\\ \cos \theta \end{array}\right) $$ . On fait donc tourner le premier polariseur d'un angle $% latex2html id marker 6374 $ \theta $$ .

$% latex2html id marker 6376 $\displaystyle \vert+\rangle _{\vec{u}}=\cos \frac{\theta }{2}\vert+\rangle +\sin \frac{\theta }{2}\vert-\rangle $$

Où $\vert+\rangle$ et $\vert-\rangle$ sont les vecteurs propres pour $% latex2html id marker 6382 $ \vec{u}=\overrightarrow{\mathbb{1}}_{z} $$

Mesure dans un état parallèle à $% latex2html id marker 6384 $ \overrightarrow{\mathbb{1}}_{z} $$ : le deuxième analyseur est positionné dans l'axe des .

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 6388\begin{array}{l} \mathcal{P}(+,... ...\vec{u}}\right\vert ^{2}=\sin ^{2}\frac{\theta }{2} \end{array}\end{displaymath}$
Dès que $% latex2html id marker 6390 $ \theta \neq 0, $$ si $% latex2html id marker 6392 $ \theta $$ petit alors $% latex2html id marker 6394 $ \mathcal{P}(-,\mathbb{1}_{z}) $$ petite mais existe!
Mesure dans un état parallèle à $% latex2html id marker 6396 $ \overrightarrow{\mathbb{1}}_{z} $$ : le deuxième analyseur est positionné dans l'axe des .

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 6400\begin{array}{l} \mathcal{P}(+,... ...^{2}\left( \frac{\pi }{4}-\frac{\theta }{2}\right) \end{array}\end{displaymath}$

1.11.4 Valeurs moyennes

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 6404\begin{array}{ll} _{u}\langle +... ...a }{2}\right) \\ & =\frac{\hbar }{2}\sin \theta \end{array}\end{displaymath}$

1.11.5 Évolution temporelle du système

$\displaystyle H=-\vec{\mu }_{S}.\vec{B}=\frac{g_{S}\mu _{B}}{\hbar }\vec{S}.\ve... ...in{array}{cc} B_{z} & B_{x}-iB_{y}\\ B_{x}+iB_{y} & B_{z} \end{array}\right)$

Remark Tout hamiltonien $2\times 2$ est de cette forme (à une composante $\vec{E}_{//}$ près):

$\displaystyle H=\left( \begin{array}{cc} H_{11} & H_{12}\\ H_{21} & H_{22} \e... ...}-H_{22}}{2} & H_{12}\\ H_{21} & -\frac{H_{11}-H_{22}}{2} \end{array}\right)$

$\displaystyle \textrm{par identification }:\textrm{ }\left\{ \begin{array}{l} B... ...\\ B_{x}=\frac{2}{g_{S}\mu _{B}}\Re \left( H_{12}\right) \end{array}\right.$

Remark Couplage fictif entre le moment magnétique de spin et le champ magnétique.

Theorem Tout système à deux états peut se ramener à un spin (fictif) dans un champ magnétique (fictif) une fois soustraite l'énergie moyenne $\overline{E}=\frac{H_{11}+H_{22}}{2}$

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 6420\begin{array}{ll} \textrm{Si }\... ... =\vert\vec{B}\vert.\overrightarrow{\mathbb{1}}_{u} \end{array}\end{displaymath}$

Les vecteurs propres sont:

$% latex2html id marker 6422 $\displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} \vert+\rang... ... \frac{\theta }{2}e^{i\frac{\varphi }{2}}\vert-\rangle _{z} \end{array}\right. $$

Avec $H\vert\pm \rangle _{u}=\overline{E}\pm \omega _{0}\frac{\hbar }{2}$ et $\omega _{0}=\frac{g_{S}\mu _{B}}{\hbar }\vert\vec{B}\vert$ qui est la fréquence de précession de Larmor.

L'évolution temporelle du système est simple:

$\begin{displaymath} % latex2html id marker 6428\begin{array}{ll} \vert\pm \ran... ...pm \rangle _{u}(t=0) & \qquad (\textrm{pure phase}) \end{array}\end{displaymath}$

Par combinaison linéaire, on obtient pour un vecteur quelconque normalisé :

$% latex2html id marker 6430 $\displaystyle \vert\psi (t=0)\rangle =e^{-i\chi }\l... ... _{u}+\sin \frac{\theta '}{2}e^{i\frac{\varphi '}{2}}\vert-\rangle _{u}\right] $$

Remark Un vecteur général s'écrit $\vert\psi \rangle =\alpha \vert+\rangle _{u}+\beta \vert-\rangle _{u}$ avec $\alpha$ et $\beta$ deux paramètres complexes. Si $\langle \psi \vert\psi \rangle =1=\vert\alpha \vert^{2}+\vert\beta \vert^{2}$ , il reste 3 paramètres réels que l'on peut choisir comme $% latex2html id marker 6440 $ \theta ',\varphi ' $$ et $\chi$ .

À un instant

quelconque, on a:

$% latex2html id marker 6446 $\displaystyle \vert\psi (t)\rangle =e^{-i\chi (t)}\... ...u}+\sin \frac{\theta '}{2}e^{i\frac{\varphi '(t)}{2}}\vert-\rangle _{u}\right] $$

$\displaystyle \textrm{avec }\left\{ \begin{array}{ll} \varphi '(t) & =\varphi '... ...ga _{0}t\\ \chi (t) & =\chi +\frac{\overline{E}t}{\hbar } \end{array}\right.$

Image géométrique

Le vecteur $\vec{u}'$ rprésentant l'état $\vert\psi \rangle$ tourne autour de l'axe $% latex2html id marker 6454 $ \overrightarrow{\mathbb{1}}_{u}//\vec{B} $$ à la vitesse angulaire $\omega _{0}$ (précession de Larmor)
$% latex2html id marker 6458 $ \theta ' $$ est constant, ainsi que $% latex2html id marker 6460 $ \langle \psi \vert H\vert\psi \rangle \sim \cos \theta ' $$ (conservation de l'énergie)
La phase globale de $\vert\psi \rangle$ , $\chi (t)$ , progresse à la vitesse angulaire $\frac{\overline{E}}{\hbar }$ correspondant à l'énergie moyenne des 2 états $\vert+\rangle _{u}$ et $\vert-\rangle _{u}$ .

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2000-10-19