5.5 Équations linéaires du second ordre

On peut trouver la SGEH par développement en série. On a de plus le théorème de Fuchs pour la singularité des solutions de:

$$L[y]\doteq \ddot{y}+p(t)\dot{y}+q(t)y=0$$

Note   Dans la suite, on fait les changements de notation suivants: $f_{1}(t)\longrightarrow p(t)\; ;\; f_{2}(t)\longrightarrow q(t)$

5.5.1 Définition

Définition   Si $p(t)$ et $q(t)$ ont une singularité en un point $t=t_{0},$ et si pour toute solution $y(t)$ il existe $\alpha >0$ tel que $$\lim _{t\rightarrow t_{0}}\left\vert t-t_{0}\right\vert ^{\alpha }y(t)=0$$, alors on dit que $t_{0}$ est point singulier régulier de l'équation différentielle.

Contre-exemple: $\begin{array}{ll} \displaystyle \ddot{y}+\frac{2t... ...ularit}\acute{\textrm{e}}\textrm{ essentielle }(\textrm{ou forte}) \end{array}$

Remarque   Le développement de Taylor pour $t\rightarrow 0^{+}$ existe, mais converge vers la fonction nulle $(\neq y(t)\: ?)$

5.5.2 Théorème de Fuchs

Théorème   Un point singulier $t_{0}$ est régulier ssi $\left\{ \begin{array}{c} p(t)\textrm{ a un p}\hat... ...{\textrm{o}}\textrm{le d}'\textrm{ordre }2\textrm{ au plus} \end{array}\right.$

Remarque   Si $p$ ou $q$ sont plus singuliers en $t_{0}$ $\rightarrow$ singularité forte

Si $p$ ou $q$ sont holomorphes en $t_{0}$ alors $y$ est holomorphe.

Autour d'un point régulier, on peut écrire:

$$\left\{ \begin{array}{l} p(t)=\frac{1}{t-t_{0}}[p_{0}+p_{1}(t-t_{... ...-t_{0})+\cdots +q_{n}(t-t_{0})^{n}+\cdots ]}{(t-t_{0})^{2}} \end{array}\right.$$

et chercher au moins une solution sous la forme:

$$% latex2html id marker 17189\begin{array}{ll} \displaystyl... ...)\\ & =\sum ^{\infty }_{n=0}a_{n}(t-t_{0})^{n+r} \end{array}$$

dans laquelle $r$ est solution de l'équation caractéristique (ou aux indices):

$$\boxed{F(r)\doteq r^{2}+(p_{0}-1)r+q_{0}=0}$$

$$=(r-r_{1})(r-r_{2}) \textrm{Avec }:\textrm{ Re}(r_{1})>\textrm{Re}(r_{2})$$

Preuve. On utilise les expressions de $y,\dot{y}$ et $\ddot{y}$:

$$% latex2html id marker 17207\begin{array}{ll} \displaystyl... ..._{n}(r+n)(r+n-1)(t-t_{0})^{r+n-2} & \qquad \times 1 \end{array}$$

$$\rightarrow L[y]=0=\sum ^{\infty }_{l=0}(t-t_{0})^{r+l-2}\left[ ... ..._{m=0}q_{m}a_{l-m}+\sum ^{l}_{m=0}p_{m}a_{l-m}(r+l-m)+a_{l}(r+l)(r+l-1)\right]$$

Ceci doit être vrai pour tout $t$ donc $\forall l=0,1,2,\cdots$ avec $l\doteq n+m\Leftrightarrow n=l-m$

D'où: $$\boxed{F(r+l)a_{l}+\sum ^{l}_{m=1}a_{l-m}\left( q_{m}+p_{m}(r+l-m)\right) =0}$$

Il y a donc deux cas possibles: $\qedsymbol$

• Si $\forall l\geq 1\, :\, F(r+l)\neq 0,$ on aura $a_{l}$ en fonction de $a_{l-1},a_{l-2},\cdots$: on a une bonne récurrence. Mais pour ne pas avoir une solution triviale $(a_{0}=a_{1}=\cdots =0),$ il faut pouvoir prendre $a_{0}\neq 0$ (par exemple $1$).
  
  $$% latex2html id marker 17231\begin{array}{ll} F(r)=0 & \qquad \textrm{condition sur }r \end{array}$$
  On peut se convaincre que ces séries ont un rayon de convergence fini (non-nul): par exemple si $p$ et $q$ ont un rayon de $1$, pour $m\rightarrow \infty$ on aura:
  
  $$% latex2html id marker 17241\begin{array}{ll} \left. \begi... ... \Longrightarrow \frac{a_{l+1}}{a_{l}}\rightarrow 1 \end{array}$$

• Si $F(r+L)=0$ pour $L\geq 1$ alors on ne trouvera une solution que ssi $r=r_{2}$ et $r_{1}=r_{2}+L.$
  $a_{L}$ ne change pas la récurrence pour $l=L$ or $$\sum ^{L}_{m=1}a_{L-m}(\cdots )=0$$ n'est pas nécessairement satisfaite!
  $\rightarrow$On doit chercher une solution de la forme:
  
  $$\displaystyle y_{2}(t)=\sum ^{\infty }_{n=0}b_{n}(t-t_{0})^{r_{2}... ...{n=0}a_{n}(t-t_{0})^{r_{1}+n}}_{\textrm{solution }y_{1}(t)\textrm{ avec }r_{1}}$$

5.5.3 Théorème de séparation de Sturm

• Si $(y_{1},y_{2})$ est un couple de solutions linéairement indépendantes de $\ddot{y}+p\dot{y}+qy=0$
• Si $t_{1},t_{2}$ sont des zéros consécutifs de $y_{1}$
• Si $y_{1},y_{2},p\in C^{0}_{[t_{1},t_{2}]}$ (régulières dans cet intervalle)

Alors $y_{2}(t_{3})=0$ pour $t_{3}\in [t_{1},t_{2}]$ $\qquad$ (une seule fois)

Preuve. Si $p$ est régulière, $W_{2}(y_{1},y_{2};t)$ ne change pas de signe (d'après Liouville)

$\begin{array}{ll} W_{2}(t_{1})=y_{2}(t_{1})\dot{y... ...ne que }:\\ W_{2}(t_{2})=y_{2}(t_{2})\dot{y}_{1}(t_{2})\neq 0 & \end{array}$

OR $\dot{y}_{1}$ change de signe puisque régulière donc $y_{2}$ change de signe

$\Longrightarrow$ Les zéros de $y_{1}$ et $y_{2}$ sont entrelacés, en dehors des points singuliers. $\qedsymbol$

Exemple   $\ddot{y}+y=0$

$\begin{array}{l} \rightarrow \left\{ \begin{array... ...t\\ y_{2}=\cos t \end{array}\right. \\ W_{2}(\sin ,\cos ;t)=-1 \end{array}$

5.5.4 Équation hypergéométrique de Gauss

$$t(1-t)\ddot{y}+(\gamma -(\alpha +\beta +1)t)\dot{y}-\alpha \beta \gamma =0$$

5.5.4.1 Points singuliers réguliers

Il y en a $3$:

$$% latex2html id marker 17310\begin{array}{llll} \bold {t=0... ...=\beta & \; r^{2}-(\alpha +\beta )r+\alpha \beta =0 \end{array}$$

5.5.4.2 Récurrence

Autour de $t=0,$ pour solution $r=r_{1}=r_{0}$:

$$% latex2html id marker 17318\begin{array}{lll} \displaysty... ...}(n_{3}-1)t^{n_{3}-2}a_{n_{3}} & & \times (t-t^{2}) \end{array}$$

Termes d'ordre $t^{n-1}$:

$$\; \quad a_{n}\left[ \underbrace{n(n... ...ightarrow n-1}-\underbrace{\alpha \gamma }_{n_{1}\leftrightarrow n-1}\right] =0$$

$\begin{array}{ll} \Leftrightarrow a_{n}n(n+\gamma... ... )+\alpha \beta \right] \\ & =a_{n-1}[(n+\alpha -1)(n+\beta -1)] \end{array}$

$\; \; \Leftrightarrow a_{n}=\frac{\alpha (\alpha ... ... +1)\cdots (\beta +n)}{1.2.3\cdots n\; \gamma (\gamma +1)\cdots (\gamma +n-1)}$

$$\boxed{\begin{array}{l} y_{1}(t)=1+\... ...(t)=t^{1-\gamma }F(\alpha -\gamma +1,\beta -\gamma +1,2-\gamma ;t) \end{array}}$$

5.5.4.3 Rayon de convergence

La série converge absolument si

$$\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{a_{n}t... ...oteq \lim _{n\rightarrow \infty }\left\vert \frac{a_{n-1}}{a_{n}}\right\vert =1$$

On peut utiliser $F$ pour exprimer un grand nombre de fonctions:

• $(1-t)^{-n}=F(n,1,1;t)$ $\rightarrow$ série géométrique, EDL satisfaite: $t(1-t)\ddot{y}+(1-(n+2)t)\dot{y}-ny=0$
• $-\log (1-t)=tF(1,1,2;t)$, EDL satisfaite: $t(1-t)\ddot{y}+(2-3t)\dot{y}-y=0$
• $e^{t}=\lim _{\beta \rightarrow \infty }F\left( 1,\beta ,1;\frac{t}{\beta }\right)$
• $\sin t=\lim _{\alpha ,\beta \rightarrow \infty }tF\left( \alpha ,\beta ,\frac{3}{2};-\frac{t^{2}}{4\alpha \beta }\right)$
• $\cos t=\lim _{\alpha ,\beta \rightarrow \infty }F\left( \alpha ,\beta ,\frac{1}{2};-\frac{t^{2}}{4\alpha \beta }\right)$

Les $3$ dernières fonctions font apparaître $\lim _{k\rightarrow \infty }\frac{t}{k}$. Ceci veut dire que le point singulier en $\frac{t}{k}=1$ de $F$ se retrouve en $t=k\rightarrow \infty$: confluence des $2$ singularités $t=1$ et $t=\infty$. Ceci est nécessaire pour avoir la singularité essentielle de $e^{t},\sin t\textrm{ et }\cos t$ pour $t\rightarrow \infty$.