5.6 Points singuliers irréguliers et développements asymptotiques

5.6.1 Point singulier de rang $k$

Définition   On appelle point singulier de rang $k$ de l'EDL $\ddot{y}+p(t)\dot{y}+q(t)y=0$ le point $t_{0}$ autour duquel on a:

$$\left\{ \begin{array}{ll} p(t)=\frac... ...trm{et }Q(t)\textrm{ aussi }(p_{0}\textrm{ et }q_{0}\neq 0) \end{array}\right.$$

Point singulier régulier: rang $k=0$

Point singulier irrégulier: rang $k\geq 1$

5.6.2 Confluence de deux singularités

Définition   Si l'EDL présente une singularité de rang $k_{1}$ en $t\sim t_{1}$ et $k_{2}$ en $t\sim t_{2}$ alors on aura un rang $(k_{1}+k_{2}+1)$ à la limite $t_{1}\rightarrow t_{2}$

Singularité à l'infini

$t=\infty$ est un point singulier d'ordre $k$ ssi:
lorsque $t\rightarrow \infty$ on a: $\left\{ \begin{array}{l} p(t)\sim p_{\infty }t^{k-1}\left( 1+o\left( \frac{1}{... ...infty }t^{2k-2}\left( 1+o\left( \frac{1}{t}\right) \right) \end{array}\right.$avec $p_{\infty }\textrm{ ou }q_{\infty }\neq 0$

Exemple   Équation de Bessel: $\ddot{y}+\frac{1}{t}\dot{y}+\underbrace{\left( 1-\frac{\gamma ^{2}}{t^{2}}\right) }_{k=1\: ;\: q_{\infty }=1\: ;\: p_{\infty }=0}y=0$

5.6.3 Série formelle

Définition   Une série formelle est une suite de coefficients $\{a_{n}\},$ indépendants, assurant la convergence, avec une règle pour la dérivation.

Exemple   $\psi (t)=\sum _{n}a_{n}t^{n}\; \rightarrow \; \frac{d}{dt}\psi (t)=\sum _{n}na_{n}t^{n-1}$

5.6.4 Développement asymptotique

Lorsque $t\rightarrow \infty$:

$$\displaystyle y(t)\sim \sum _{n=0}^{... ...ightarrow \infty }t^{N}\left( y(t)-\sum _{n=0}^{N}\frac{a_{n}}{t^{n}}\right) =0$$

$\rightarrow$ La série partielle $S_{N}(t)=\sum ^{N}_{n=0}\frac{a_{n}}{t^{n}}$ fournit une approximation de $y(t)$ d'autant meilleure que $t$ est grand (l'erreur est en $\frac{1}{t^{N+1}}$)

Attention: Il n'y a pas nécessairement convergence: à $t$ fixé, $S_{N+1}(t)$ est éventuellement plus mauvais que $S_{N}(t)$. Donc si on veut une meilleure précision, il faut prendre $t$ plus grand.

5.6.5 Théorème

Théorème   Si $L[y]=\ddot{y}+p(t)\dot{y}+q(t)=0$ avec:

$$% latex2html id marker 17450\begin{array}{ll} \left\{ \beg... ...textrm{ est un point singulier d}'\textrm{ordre }k. \end{array}$$

Si $\left( \lambda ^{2}+p_{\infty }\lambda +q_{\infty }\right) =(\lambda -\lambda _{1})(\lambda -\lambda _{2})=0$ pour $\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$

Alors on a des solutions sous forme de séries formelles:

$$y(t)\sim \exp \left[ \mu _{k}\frac{t^{k}}{k}+\mu _{k-1}t^{k-1}+\c... ...] \left( a_{\infty }+\frac{a_{1}}{t}+\cdots \frac{a_{n}}{t^{n}}+\cdots \right)$$

et chaque série formelle est le développement asymptotique d'une vraie solution:

$$\textrm{lorsque }t\rightarrow \infty \: :\: \frac{y(t)}{\exp \lef... ...u _{0}\ln t\right] }\sim a_{\infty }+\frac{a_{1}}{t}+\frac{a_{2}}{t^{2}}\cdots$$

Preuve. On peut au moins montre que ce développement possède une solution:

$\begin{array}{lll} \textrm{Si} & y(t) & =e^{f(t)}... ...n}+2\dot{f}\sum (-n)a_{n}t^{-n-1}+\sum n(n+1)a_{n}t^{-n-2}\right] \end{array}$

Comme $f\sim \mu _{k}t^{k}\: ,\; \dot{f}\sim k\mu _{k}t^{k-1}$ et $\dot{f}^{2},pf$ et $q\sim t^{2k-2}$, alors $\boxed{(\mu _{k})^{2}+\mu _{k}p_{\infty }+q_{\infty }=0}$ donne le comportement dominant à grand $t$.

En général, $L[y]=0$ s'écrit (où un terme n'est sommé sur un indice que si cet indice apparaît):

$$% latex2html id marker 17477\begin{array}{ll} \displaystyl... ...-1-n}\\ & \left. +q_{m}a_{n}t^{2k-2-n}\right] =0 \end{array}$$

$\begin{array}{lll} \ast \: t^{2k-2} & \rightarrow... ...}\left[ \mu _{k}^{2}+(2k-1)\mu _{2k}+p_{0}\mu _{k}+q_{0}\right] =0 \end{array}$

$\quad$ $\qedsymbol$