suivant:
Table des matières
 
Table des matières
Licence de Physique: Opérateurs Différentiels
Jean Orloff
Notes prises et mises en forme par Sébastien Binet
Table des matières
1 Introduction: Refroidissement d'un cube
1.1 Equation de la chaleur
1.1.1 Conservation de la chaleur:
1.1.2 Relations à la température:
1.2 Résolution
1.2.1 Homogénéité des C.B.
1.2.2 Séparation de variable:
1.2.3 Solution générale des 4 équations:
1.2.4 Conditions aux bords du cube.
1.2.5 Conditions initiales:
1.2.6 Exemple concret:
1.3 Remarques
1.4 Questions rapides
2 Espaces vectoriels de fonctions
2.1 Image naïve
Notations:
2.2 Espace vectoriel abstrait
2.3 Norme
2.4 Convergence
2.5 Questions rapides
2.6 Produit scalaire
2.7 Opérateurs linéaires: sur
2.7.1 Opérateur
2.7.2 Addition d'opérateurs
2.7.3 Produit d'opérateurs: composition
2.7.4 Inverse
2.7.5 Fonction d'opérateur
2.7.6 Dérivée d'opérateurs
2.7.7 Commutateur
2.7.8 Opérateur adjoint
2.7.9 Opérateur hermitien (ou auto-adjoint)
2.7.10 Opérateurs unitaires
2.7.11 Vecteurs et valeurs propres
2.7.12 Bases orthonormées
2.8 Produit tensoriel
2.8.1 Espace produit
2.8.2 Composantes
2.8.3 Produit scalaire
2.8.4 Produit tensoriel d'opérateurs linéaires
2.8.5 Éléments de matrice
2.8.6 Tenseur d'ordre
2.8.7 Symétrie de tenseurs
3 Série de Fourier
3.1 Fonctions propres de
3.2 Convergence et Complétude
3.2.1 Critère de convergence
3.2.2 Critères de développement
3.3 Cas particuliers
3.4 Questions rapides
4 Transformée de Fourier
4.1 Limite continue de la série de Fourier
4.2 Transformations intégrales
4.3 Propriétés de la Transformée de Fourier
4.4 Exemples
4.5 Complétude (inversibilité de la Transformée de Fourier)
4.6 Transformée de Fourier à n dimensions
5 Equations Différentielles
5.1 Introduction-Généralités
5.2 Equations particulières du 1er ordre
5.2.1
ou
:
5.2.2 Séparation des variables
:
5.2.3 Equation homogène
:
5.2.4 Equation différentielle exacte
:
5.2.5 Equation linéaire
:
5.2.6 Equation de Lagrange
:
5.2.7 Equation de Clairaut
:
5.2.8 Equation harmonique
:
5.3 Équations d'ordre supérieur
5.4 Équations linéaires d'ordre
5.4.1 Théorème
5.4.2 Principe de superposition (EDLH)
5.4.3 Définition
5.4.4 Définition
5.4.5 Système fondamentale (en
)
5.4.6 Formule de Liouville
5.4.7 Méthode de Lagrange (variation des constantes)
5.4.8 Réduction de l'ordre
5.4.9 Coefficients constants
5.5 Équations linéaires du second ordre
5.5.1 Définition
5.5.2 Théorème de Fuchs
5.5.3 Théorème de séparation de Sturm
5.5.4 Équation hypergéométrique de Gauss
5.5.4.1 Points singuliers réguliers
5.5.4.2 Récurrence
5.5.4.3 Rayon de convergence
5.6 Points singuliers irréguliers et développements asymptotiques
5.6.1 Point singulier de rang
5.6.2 Confluence de deux singularités
5.6.3 Série formelle
5.6.4 Développement asymptotique
5.6.5 Théorème
6 Problèmes aux bords
6.1 Problème de Sturm-Liouville
6.2 Fonction de Green
6.2.1 Forme intégrale de Sturm-Liouville
6.2.2 Série de Fourier généralisée
7 Équations aux dérivées partielles linéaires (EDPL)
7.1 Définitions
7.1.1 Forme générale:
7.1.2 EDP Linéaire
7.1.3 EDPL Homogène:
7.2 Séparation des variables
7.3 EDPL du premier ordre
7.4 EDPL du second ordre: courbes caractéristiques
7.5 Équations hyperboliques
7.5.1 Problème mixte
7.5.2 Problème au bord
7.6 Équations elliptiques:
(électrostatique)
7.6.1 Problème de Cauchy
7.6.2 Problème au bord
7.6.3 Fonction de Green
7.7 Équations paraboliques
7.7.1 Conditions de Cauchy
7.7.2 Fonction de Green
7.7.3 Problème mixte
7.7.4 Problème au bord
7.8 Théorème et fonction de Green (Conditions au bord)
8 Quelques fonctions spéciales
8.1 Fonction Gamma d'Euler
8.1.1 Définition
8.1.2 Propriétés
8.2 Équation et fonction hypergéométrique de Gauss
8.2.1 Définition
8.2.2 Propriétés
8.3 Équation et fonction de Bessel
8.3.1 Définition
8.3.2 Propriétés
8.4 Équation et polynomes de Legendre.
8.4.1 Définition
8.4.2 Propriétés
8.4.3 Fonctions de Legendre associées
8.5 Harmoniques sphériques
8.5.1 Définition
8.5.2 Propriétés:
8.6 Autres polynômes orthogonaux
8.6.1 Formule de Rodrigues:
8.6.2 Exemples
8.6.2.1 Polynômes d'Hermite:
8.6.2.2 Polynômes de Laguerre:
8.6.2.3 Polynômes de Legendre:
8.6.2.4 Polynômes de Tchebycheff:
À propos de ce document...
2000-10-06