8.4 Équation et polynomes de Legendre.

8.4.1 Définition

$$(1-t^{2})\ddot{y}-2t\dot{y}+l(l+1)y=0$$ (8.4.1)

C'est un cas particulier de l'équation hypergéométrique, avec les substitutions: $\alpha \rightarrow l+1$ (entier), $\beta \rightarrow -l$, $\gamma \rightarrow 1$, $t\rightarrow (1-t)/2$. Une des 2 solutions est un Polynome de Legendre:

$$\displaystyle P_{l}(t) = F(l+1,-l,1;\frac{1-t}{2})x$$ (8.4.2)

$$= 1+\frac{1-t}{2}.\frac{(l+1)(-l)}{1.1!}+\left( \frac{1-t}{2}\right) ^{2}.\frac{(l+1)(l+2)(-l)(-l+1)}{2!2!}+\cdots$$

$$=\frac{1}{2^{l}l!}\frac{d^{l}}{dt^{l}}(t^{2}-1)^{l}\quad (\mathrm{Formule}\, \mathrm{de}\, \mathrm{Rodriguez})$$

$$=\frac{1}{2^{l}l!}\sum _{m=0}^{l/2}(-1)^{m}\frac{l!}{m!(l-m)!}.\frac{(2l-2m)!}{(l-2m)!}t^{l-2m}$$

$$= \frac{(-1)^{l/2}l!}{2^{l}(\frac{l}{2... ...}{2!}+l(l+1)(l-2)(l+3)\frac{t^{4}}{4!}-\ldots \right] \quad (l\, \mathrm{pair})$$

$$= \frac{(-1)^{\frac{l-1}{2}}l!}{2^{l-1... ...(l-1)(l+2)(l-3)(l+4)\frac{t^{5}}{5!}-\ldots \right] \quad (l\, \mathrm{impair})$$

$$= \frac{2l!}{2^{l}(l!)^{2}}\left[ t^{l}-\frac{l(l-1)}{2.(2l-1)}t^{l-2}+\frac{l(l-1)(l-2)(l-3)}{2.4.(2l-1)(2l-3)}t^{l-4}-\ldots \right]$$

L'autre solution $Q_{l}(t)$ a une singularité logarithmique en $t=\pm 1$.

8.4.2 Propriétés

1. $P_{l}(1)=1$
2. Premiers polynomes: ( $t=\cos \theta$)
   

   $$\textstyle P_{0} = 1$$ (8.4.3)

   $$P_{1} = t=\cos \theta$$

   $$P_{2} = \frac{1}{2}(3t^{2}-1)=\frac{1}{4}(3\cos2 \theta +1)$$

   $$P_{3} = \frac{1}{2}(5t^{3}-3t)=\frac{1}{8}(5\cos3 \theta +3\cos \theta )$$

   
   

3. Fonction génératrice: $G(t,x)\doteq \sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(t)x^{l}$. En utilisant des variables plus parlantes $x=r_{0}/r;t=\cos \theta$, on a:

   $$\frac{1}{\vert\vec{r}-\vec{r}_{0}\ve... ...\cos \theta }}=\frac{1}{r}\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(\cos \theta )(r_{0}/r)^{l}$$ (8.4.4)

   
   

4. Application: un $(l+1)-$pôle linéaire est un ensemble de $(l+1)$ charges de valeurs $\{1,-l,\ldots (-1)^{m}\frac{l!}{m!(l-m)!},\ldots (-1)^{l}\}$, situées sur l'axe $z$ où elles sont également espacées d'une distance $r_{0}$. Un tel $(l+1)$-pôle peut être obtenu par récurrence en prenant 2 $l$-pôles de charges opposées, et en les décalant de la distance $r_{0}$. À des distances $r$ grandes devant $r_{0}$, le potentiel électrostatique d'un $(l+1)$-pôle est :

   $$V_{l}(r,\theta ,\phi )\sim l!\frac{r_{0}^{l}}{r^{(l+1)}}P_{l}(\cos \theta )(1+O(r_{0}/r))$$ (8.4.5)

   
   
   Les polynômes de Legendre donnent donc la dépendance angulaire à grande distance de ces $(l+1)$-pôles linéaires. Pour $l=0$, on a un monopole électrique et donc une charge usuelle: le potentiel $V_{0}\sim 1/r$ est à symétrie sphérique indépendant de $\theta$. Pour $l=1$, on a un dipôle usuel, avec $V_{1}\sim 1/r^{2}\cos \theta$. Le nombre $l$ est le nombre de fois où le potentiel s'annule quand on passe (le long d'un cercle) de l'axe $z$ positif ($\theta =0$) à l'axe négatif ( $\theta =\pi$).
5. Récurrences:
   

   $$\dot{P}_{l+1}(t) = (l+1)P_{l}(t)+t\dot{P}_{l}(t)$$ (8.4.6)

   $$P_{l+1}(t) = (2l+1)tP_{l}(t)+lP_{l}(t)$$

   
   

6. Équation de Legendre sous forme d'équation aux valeurs propres d'un opérateur différentiel symétrique:

   $$L[y]=\lambda y;\qquad L[y]=\frac{d}{dt}\left[ (1-t^{2})\frac{d}{dt}y\right] ;\qquad \lambda =-l(l+1).$$ (8.4.7)

   
   

7. Orthogonalité:

   $$\int _{-1}^{+1}dt\, P_{l}(t)P_{l'}(t)=\frac{2}{2l+1}\delta _{ll'}$$ (8.4.8)

   
   

8.4.3 Fonctions de Legendre associées

1. Définition:

   $$P_{l}^{m}(t)\doteq (1-t^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dt^{m}}P_{l}(t)=\frac{1}{2^{l}l!}\left[ \frac{d}{dt}\right] ^{l+m}(t^{2}-1)^{l}$$ (8.4.9)

   
   
   est solution de^8.4

   $$\frac{d}{dt}\left[ (1-t^{2})\frac{d}{dt}y\right] +\left[ l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-t^{2}}\right] y=0.$$ (8.4.10)

   
   

2. Extension: pour $m<0$, on définit

   $$P_{l}^{-m}(t)\doteq (-)^{m}\frac{(l-m)!}{(l+m)!}P_{l}^{m}(t)$$ (8.4.11)

   
   

3. Valeurs particulières:
   

   $$P_{l}^{0}(t)=P_{l}(t)\rightarrow P_{l}^{0}(\pm 1)=P_{l}(\pm 1)=(\pm )^{l}$$

   $$P_{l}^{l}(t)=\frac{(2l)!}{2^{l}l!}(1-t^{2})^{l/2}=\frac{(2l)!}{2^{l}l!}\sin ^{l}\theta$$

   $$P_{l}^{m}(t)\equiv 0\qquad \mathrm{si}\, \vert m\vert>l$$

   
   

4. Récurrences:
   

   $$m \text {fix{\' {e}}:} (2l+1)\, t\, P_{l}^{m}(t)=(l+m)P_{l-1}^{m}(t)+(l+1-m)P_{l+1}^{m}(t)$$ (8.4.12)

   $$l \text {fix{\' {e}}:} P_{l}^{m+1}(t)-2m\frac{t}{\sqrt{1-t^{2}}}P_{l}^{m}(t)+[l(l+1)-m(m+1)]P_{l}^{m-1}(t)=0$$ (8.4.13)

   
   

5. Orthonormalisation:

   $$\int _{-1}^{+1}dt\, P_{l}^{m}(t)P_{l'}^{m}(t)=\frac{2}{2l+1}\frac{(l+m)!}{(l-m)!}\; \delta _{ll'}$$ (8.4.14)