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Sous-sections

8.5 Harmoniques sphériques

8.5.1 Définition

% latex2html id marker 18735
$\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\doteq (-1)^...
...sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}e^{im\phi }P_{l}^{m}(\cos \theta )$ (8.5.1)

8.5.2 Propriétés:

  1. Le laplacien en coordonnées sphériques peut s'écrire

    $\displaystyle \Delta =\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}r-\frac{1}{r^{2}}L^{2}$ (8.5.2)

    où on sépare l'opérateur différentiel angulaire:

    % latex2html id marker 18745
$\displaystyle -L^{2}=\left[ \frac{\partial^{2}}{\p...
...eta }+\frac{1}{\sin ^{2}\theta }\frac{\partial^{2}}{\partial\phi ^{2}}\right] .$ (8.5.3)

    Pour trouver des fonctions $ f $ harmoniques (i.e, solutions de $ \Delta f=0 $), sous forme séparée % latex2html id marker 18751
$ f(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi ) $ sphérique, il suffit de résoudre une équation différentielle $ r^{2}\ddot{R}(r)+2r\dot{R}=l(l+1)R $ pour trouver $ R $ chaque fois que l'on connait une fonction propre de

    $\displaystyle L^{2}Y=l(l+1)Y.$ (8.5.4)

    Puisque $ Y $ doit être périodique en $ \phi $, on l'écrit comme une série de Fourier:

    % latex2html id marker 18767
$\displaystyle Y(\theta ,\phi )=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }a_{m}(\theta )e^{im\phi }$ (8.5.5)

    et l'équation aux valeurs propres $ L^{2}Y=l(l+1)Y $ devient une équation différentielle pour les coefficients $ a_{m} $:
        % latex2html id marker 18776
$\displaystyle -\frac{d^{2}}{d\theta ^{2}}a_{m}(\th...
...}{d\theta }a_{m}(\theta )=[l(l+1)-\frac{m^{2}}{\sin ^{2}\theta }]a_{m}(\theta )$ (8.5.6)
      $\displaystyle \Leftrightarrow$ % latex2html id marker 18782
$\displaystyle -(1-t^{2})\ddot{a}_{m}(t)+2t\dot{a}_{m}(t)=[l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-t^{2}}]a_{m}(t);\qquad t=\cos \theta$ (8.5.7)

    que nous reconnaissons comme l'équation pour les fonctions de Legendre associées (8.4.10). On a donc à un facteur de normalisation $ c_{l}^{m} $ près,

    % latex2html id marker 18788
$\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=c_{l}^{m}P_{l}^{m}(\cos \theta )e^{im\phi }$ (8.5.8)

  2. Orthonormalisation: les $ a_{m} $ sont donc proportionnelles aux fonctions de Legendre associées, et convient de les normaliser à:

    % latex2html id marker 18794
$\displaystyle \langle Y_{l}^{m},Y_{l'}^{m'}\rangle...
...{l}^{m}(\theta ,\phi )^{*}Y_{l'}^{m'}(\theta ,\phi )=\delta _{ll'}\delta ^{mm'}$ (8.5.9)

  3. Complétude: Toute fonction continue sur la sphère unité peut se développer sur la base des $ Y_{l}^{m} $:
        % latex2html id marker 18801
$\displaystyle f(\theta ,\phi )=\sum _{l=-\infty }^{+\infty }\sum _{m=-l}^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\, \langle Y_{l}^{m},f\rangle$ (8.5.10)
      $\displaystyle \Leftrightarrow$ % latex2html id marker 18807
$\displaystyle \sum _{l=-\infty }^{+\infty }\sum _{...
...}^{m}(\theta' ,\phi' )=\delta (\cos \theta' -\cos \theta )\delta (\phi' -\phi )$ (8.5.11)

  4. Premières harmoniques sphériques:

    $ Y_{l\downarrow }^{m\rightarrow } $ $ 0 $ $ \pm 1 $ $ \pm 2 $
    $ 0 $ $ \sqrt{\frac{1}{4\pi }} $    
    $ 1 $ % latex2html id marker 18823
$ \sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \theta $ % latex2html id marker 18825
$ \mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta \, e^{\pm i\phi } $  
    $ 2 $ % latex2html id marker 18829
$ \sqrt{\frac{5}{16\pi }}(3\cos ^{2}\theta -1) $ % latex2html id marker 18831
$ \mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\cos \theta \sin \theta \, e^{\pm i\phi } $ % latex2html id marker 18833
$ \sqrt{\frac{15}{32\pi }}\sin ^{2}\theta \, e^{\pm 2i\phi } $
    $ \vdots $ $ \vdots $ $ \ddots $ $ \ddots $
    $ l $ % latex2html id marker 18845
$ Y_{l}^{0}=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }}P_{l}(\cos \theta ) $ $ \cdots $ % latex2html id marker 18849
$ Y_{l}^{\pm l}=(\mp )^{l}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(2l)!}{2^{2l}l!^{2}}}\sin ^{l}\theta \, e^{\pm il\phi } $

  5. Effet des rotations: sous une rotation à 3 dimensions % latex2html id marker 18875
$ (\theta ,\phi )\rightarrow (\theta _{R},\phi _{R}) $,

    % latex2html id marker 18879
$\displaystyle Y_{l}^{m}(\theta _{R},\phi _{R})=\sum _{m'=-l}^{l}R_{mm'}Y_{l}^{m'}(\theta ,\phi )$ (8.5.12)

    $ R_{mm'} $ est une certaine matrice $ (2l+1)\times (2l+1) $, dépendant de la rotation choisie, et qui la représente dans l'espace des fonctions à $ l $ fixé. Cette matrice est unitaire car la relation d'orthonormalisation (8.5.9) est invariante.
  6. Théorème d'addition:

    % latex2html id marker 18889
$\displaystyle \frac{2l+1}{4\pi }P_{l}(\cos \theta ...
..._{m=-l}^{l}Y_{l}^{m}(\theta _{1},\phi _{1})^{*}Y_{l}^{m}(\theta _{2},\phi _{2})$ (8.5.13)

    si % latex2html id marker 18891
$ \theta _{12} $ est l'angle entre les vecteurs % latex2html id marker 18893
$ (\theta _{1},\phi _{1}) $ et % latex2html id marker 18895
$ (\theta _{2},\phi _{2}) $.8.5


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2000-10-06