8.5 Harmoniques sphériques

8.5.1 Définition

$$Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\doteq (-1)^... ...sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(l-m)!}{(l+m)!}}e^{im\phi }P_{l}^{m}(\cos \theta )$$ (8.5.1)

8.5.2 Propriétés:

1. Le laplacien en coordonnées sphériques peut s'écrire

   $$\Delta =\frac{1}{r}\frac{\partial^{2}}{\partial r^{2}}r-\frac{1}{r^{2}}L^{2}$$ (8.5.2)

   
   
   où on sépare l'opérateur différentiel angulaire:

   $$-L^{2}=\left[ \frac{\partial^{2}}{\p... ...eta }+\frac{1}{\sin ^{2}\theta }\frac{\partial^{2}}{\partial\phi ^{2}}\right] .$$ (8.5.3)

   
   
   Pour trouver des fonctions $f$ harmoniques (i.e, solutions de $\Delta f=0$), sous forme séparée $f(r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )$ sphérique, il suffit de résoudre une équation différentielle $r^{2}\ddot{R}(r)+2r\dot{R}=l(l+1)R$ pour trouver $R$ chaque fois que l'on connait une fonction propre de

   $$L^{2}Y=l(l+1)Y.$$ (8.5.4)

   
   
   Puisque $Y$ doit être périodique en $\phi$, on l'écrit comme une série de Fourier:

   $$Y(\theta ,\phi )=\sum _{m=-\infty }^{+\infty }a_{m}(\theta )e^{im\phi }$$ (8.5.5)

   
   
   et l'équation aux valeurs propres $L^{2}Y=l(l+1)Y$ devient une équation différentielle pour les coefficients $a_{m}$:
   

   $$-\frac{d^{2}}{d\theta ^{2}}a_{m}(\th... ...}{d\theta }a_{m}(\theta )=[l(l+1)-\frac{m^{2}}{\sin ^{2}\theta }]a_{m}(\theta )$$ (8.5.6)

   $$\Leftrightarrow -(1-t^{2})\ddot{a}_{m}(t)+2t\dot{a}_{m}(t)=[l(l+1)-\frac{m^{2}}{1-t^{2}}]a_{m}(t);\qquad t=\cos \theta$$ (8.5.7)

   
   
   que nous reconnaissons comme l'équation pour les fonctions de Legendre associées (8.4.10). On a donc à un facteur de normalisation $c_{l}^{m}$ près,

   $$Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )=c_{l}^{m}P_{l}^{m}(\cos \theta )e^{im\phi }$$ (8.5.8)

   
   

2. Orthonormalisation: les $a_{m}$ sont donc proportionnelles aux fonctions de Legendre associées, et convient de les normaliser à:

   $$\langle Y_{l}^{m},Y_{l'}^{m'}\rangle... ...{l}^{m}(\theta ,\phi )^{*}Y_{l'}^{m'}(\theta ,\phi )=\delta _{ll'}\delta ^{mm'}$$ (8.5.9)

   
   

3. Complétude: Toute fonction continue sur la sphère unité peut se développer sur la base des $Y_{l}^{m}$:
   

   $$f(\theta ,\phi )=\sum _{l=-\infty }^{+\infty }\sum _{m=-l}^{l}Y_{l}^{m}(\theta ,\phi )\, \langle Y_{l}^{m},f\rangle$$ (8.5.10)

   $$\Leftrightarrow \sum _{l=-\infty }^{+\infty }\sum _{... ...}^{m}(\theta' ,\phi' )=\delta (\cos \theta' -\cos \theta )\delta (\phi' -\phi )$$ (8.5.11)

   
   

4. Premières harmoniques sphériques:

   $Y_{l\downarrow }^{m\rightarrow }$	$0$	$\pm 1$	$\pm 2$
   $0$	$\sqrt{\frac{1}{4\pi }}$
   $1$	$\sqrt{\frac{3}{4\pi }}\cos \theta$	$\mp \sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta \, e^{\pm i\phi }$
   $2$	$\sqrt{\frac{5}{16\pi }}(3\cos ^{2}\theta -1)$	$\mp \sqrt{\frac{15}{8\pi }}\cos \theta \sin \theta \, e^{\pm i\phi }$	$\sqrt{\frac{15}{32\pi }}\sin ^{2}\theta \, e^{\pm 2i\phi }$
   $\vdots$	$\vdots$	$\ddots$	$\ddots$
   $l$	$Y_{l}^{0}=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }}P_{l}(\cos \theta )$	$\cdots$	$Y_{l}^{\pm l}=(\mp )^{l}\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi }\frac{(2l)!}{2^{2l}l!^{2}}}\sin ^{l}\theta \, e^{\pm il\phi }$

5. Effet des rotations: sous une rotation à 3 dimensions $(\theta ,\phi )\rightarrow (\theta _{R},\phi _{R})$,

   $$Y_{l}^{m}(\theta _{R},\phi _{R})=\sum _{m'=-l}^{l}R_{mm'}Y_{l}^{m'}(\theta ,\phi )$$ (8.5.12)

   
   
   où $R_{mm'}$ est une certaine matrice $(2l+1)\times (2l+1)$, dépendant de la rotation choisie, et qui la représente dans l'espace des fonctions à $l$ fixé. Cette matrice est unitaire car la relation d'orthonormalisation (8.5.9) est invariante.
6. Théorème d'addition:

   $$\frac{2l+1}{4\pi }P_{l}(\cos \theta ... ..._{m=-l}^{l}Y_{l}^{m}(\theta _{1},\phi _{1})^{*}Y_{l}^{m}(\theta _{2},\phi _{2})$$ (8.5.13)

   
   
   si $\theta _{12}$ est l'angle entre les vecteurs $(\theta _{1},\phi _{1})$ et $(\theta _{2},\phi _{2})$.^8.5