8.6 Autres polynômes orthogonaux

L'équation aux valeurs propres

$$L[y_{n}]=\alpha (t)\ddot{y}_{n}+\beta (t)\dot{y}_{n}=\lambda _{n}y_{n}$$ (8.6.1)

aura une solution polynomiale $y_{n}(t)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}t^{i}$ avec, pour chaque $n$, une valeur propre appropriée $\lambda _{n}$ si et seulement si:^8.6

$$\alpha (t) = \alpha _{2}t^{2}+\alpha _{1}t+\alpha _{0}$$ (8.6.2)

$$\beta (t) = \beta _{1}t+\beta _{0}$$ (8.6.3)

$$\lambda _{n} = n(\alpha _{2}(n-1)+\beta _{1})$$ (8.6.4)

$$\beta _{1} \not = -k\alpha _{2};\quad k\geq 0\, (\mathrm{si}\, \mathrm{on}\, \mathrm{veut}\, \lambda _{n}\not =\lambda _{n'})$$ (8.6.5)

L'équation (8.6.1) est donc de type hypergéométrique de Gauss.

L'opérateur $L$ n'est pas symétrique par rapport au produit scalaire usuel, mais en le multipliant par une fonction $\mu (t)$ telle que $\frac{d}{dt}(\mu (t)\alpha (t))=\mu (t)\beta (t)$, on obtient un opérateur symétrique^8.7

$$L_{s}[y]=\mu (t)L[y]=\frac{d}{dt}\left[ \mu \alpha \frac{d}{dt}y\right]$$ (8.6.6)

$$\rightarrow \langle z,L_{s}[y]\rangle =\int _{a}... ...t\, y(t)L_{s}[z]+\int _{a}^{b}dt\, \frac{d}{dt}[\mu \alpha (z\dot{y}-y\dot{z})]$$ (8.6.7)

pour toutes fonctions $y,z$ annulant le dernier terme aux limites. Si ces fonctions sont polynomiales, leur Wronskien aussi, et pour annuler le terme aux limites, il suffit donc de demander:

$$\mu (t)>0$$ (8.6.8)

$$\frac{d}{dt}[\mu (t)\alpha (t)]=\mu (t)\beta (t)$$ (8.6.9)

$$\lim _{t\rightarrow a}\mu (t)\alpha (t)t^{n}=\lim _{t\rightarrow b}\mu (t)\alpha (t)t^{n}$$ (8.6.10)

pour n'importe quelle puissance $n$. Alors, puisque $\langle z,L_{s}[y]\rangle =\langle z,L[y]\rangle _{\mu }$, on a l'orthogonalité des solutions $y_{n}$ par rapport à la mesure $\mu$:

$$\langle y_{n},L[y_{n'}]\rangle _{\mu }-\langle L[y_{n}],y_{n'}\rangle _{\mu }=(\lambda _{n'}-\lambda _{n})\langle y_{n},y_{n'}\rangle _{\mu }$$ (8.6.11)

$$\Rightarrow \langle y_{n},y_{n'}\rangle _{\mu }\doteq \int _{a}^{b}dt\mu (t)\; y_{n}(t)y_{n'}(t)=0;\qquad n\not =n';$$ (8.6.12)

$$\langle y_{n},L[y_{n}]\rangle _{\mu ... ...y_{n},y_{n}\rangle _{\mu }=-\int _{a}^{b}dt\, \mu (t)\alpha (t)\dot{y}_{n}^{2}.$$ (8.6.13)

Puisque $\mu$ est défini positif, les $\lambda _{n}$ sont donc de signe opposé à $\alpha$ (dont les zéros sont des points singuliers de 8.6.1).

8.6.1 Formule de Rodrigues:

$$\Pi _{n}(t)=\frac{1}{\mu (t)}\frac{d^{n}}{dt^{n}}[\mu (t)\alpha (t)^{n}]$$ (8.6.14)

est un polynôme solution de (8.6.1). Démonstration:

1. $\frac{d^{p}}{dt^{p}}\mu \alpha ^{n}=\mu \beta ^{n-p}Q(t)$, où $Q$ est un polynome de degré $n$. En effet, si $p\leq n$, il y a toujours assez de puissances de $\alpha$ pour utiliser $d/dt(\mu \alpha )=\mu \beta$. Comme $\beta$ est un polynôme (de degré 1), on peut itérativement construire le polynôme $Q(t)$. $\Pi _{n}(t)$ est donc bien un polynôme de degré $n$, que l'on peut développer sur la base des $y_{l}$ (solutions de 8.6.1 pour la valeur propre $\lambda _{l}$) qui sont orthogonales et donc linéairement indépendantes: $\Pi _{n}(t)=\sum _{l=0}^{n}d_{l}y_{l}(t)$.
2. $\langle y_{m},\Pi _{n}\rangle _{\mu }=d_{m}\langle y_{m},y_{m}\rangle _{\mu }=0$ pour $m<n$. En effet, intégrant $\int _{a}^{b}dt\, y_{m}(t)(d/dt)^{n}(\mu \alpha ^{n})=0$ $n$ fois par parties, on arrive à $(d/dt)^{n}y_{m}=0$, et les termes aux bords $\sim \mu \alpha ^{n-m}$ s'annulent grâce à (8.6.9). Si $\mu >0$, $\langle y_{m},y_{m}\rangle _{\mu }>0$ et on en déduit $d_{m<n}=0$.
3. $\langle y_{n},\Pi _{n}\rangle _{\mu }=d_{n}=\sqrt{\frac{\langle \Pi _{n},\Pi _{n}\rangle _{\mu }}{\langle y_{n},y_{n}\rangle _{\mu }}}$ donne la normalisation.

8.6.2 Exemples

8.6.2.1 Polynômes d'Hermite:

$$-\ddot{H}_{n}+t\dot{H}_{n}=nH_{n}$$ (8.6.15)

$$\Leftrightarrow \alpha _{0}=-1;\quad \beta _{1}=1;\quad \lambda _{n}=n$$ (8.6.16)

$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mu (t)=e^{-t^{2}/2}\\ a=-\infty ;\quad b=+\infty \end{array}\right.$$ (8.6.17)

Normalisation: la formule de Rodrigues donne:

$$H_{n}(t)=t^{n}+\ldots$$ (8.6.18)

$$\langle H_{n},H_{n}\rangle _{\mu }=n!\sqrt{2\pi }$$ (8.6.19)

Fonction génératrice:

$$e^{tx-x^{2}/2}=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(t)\frac{x^{n}}{n!}$$ (8.6.20)

Les polynômes d'Hermite donnent en mécanique quantique les fonctions d'onde de l'oscillateur harmonique.

8.6.2.2 Polynômes de Laguerre:

$$t\ddot{L}_{n}+(1-t)\dot{L}_{n}=-nL_{n}$$ (8.6.21)

$$\Leftrightarrow \alpha _{1}=1;\quad \beta _{0}=1;\quad \beta _{1}=-1;\quad \lambda _{n}=-n$$ (8.6.22)

$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mu (t)=e^{-t}\\ a=0;\quad b=+\infty \end{array}\right.$$ (8.6.23)

Récurrence:

$$L_{n+1}(t)=(2n+1-t)L_{n}(t)-n^{2}L_{n-1}$$ (8.6.24)

Normalisation:

$$L_{n}(t)=t^{n}+\ldots$$ (8.6.25)

$$\langle L_{n},L_{n}\rangle _{\mu }=n!^{2}$$ (8.6.26)

Fonction génératrice:

$$\frac{1}{1-x}e^{-xt/(1-x)}=\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}(t)\frac{x^{n}}{n!}$$ (8.6.27)

Les polynômes de Laguerre donnent en mécanique quantique la dépendance radiale des fonctions d'onde de l'atome d'hydrogène.

8.6.2.3 Polynômes de Legendre:

$$(1-t^{2})\ddot{P}_{l}-2t\dot{P}_{l}=-l(l+1)P_{l}$$ (8.6.28)

$$\Leftrightarrow \alpha _{2}=-1;\quad \alpha _{0}=1;\quad \beta _{1}=-2;\quad \lambda _{l}=-l(l+1)$$ (8.6.29)

$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mu (t)=1;\\ a=-1;\; b=1 \end{array}\right.$$ (8.6.30)

Les polynômes de Legendre sont historiquement définis avec un facteur par rapport à la formule de Rodrigues, cf 8.4.3. Ils interviennent dans tous les problèmes à symétrie sphérique.

8.6.2.4 Polynômes de Tchebycheff:

$$(1-t^{2})\ddot{T}_{n}-t\dot{T}_{n}=-n^{2}T_{n}$$ (8.6.31)

$$\Leftrightarrow \alpha _{2}=-1;\quad \alpha _{0}=1;\quad \beta _{1}=-1;\quad \lambda _{n}=-n^{2}$$ (8.6.32)

$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \mu (t)=(1-... ...^{-1/2}\Leftrightarrow \mu (t)dt=d(\arccos t)\\ a=-1;\; b=1 \end{array}\right.$$ (8.6.33)

En termes de la variable $x=\arccos t$, l'équation devient $y''(x)+n^{2}y(x)=0$. Les polynômes de Tchebycheff sont donc une façon d'exprimer $\cos nx$ comme un polynôme en $\cos x$. Ils sont utiles pour dans les problèmes d'interpolation.